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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
j) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}$
j) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}$
Respuesta
Para decidir si la serie
Reportar problema
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}\)
converge o diverge, observamos la expresión de nuestra serie y sospechamos que, cuando \(n\) sea muy grande, se va a comportar de manera similar a \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2/3}}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4/3}} \)
Esta serie sabemos que converge, por ser una serie $p$ con $p > 1$. Vamos a confirmar esta sospecha usando el criterio de comparación vía límite:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}}{\frac{1}{n^{4/3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^{2/3}+\sqrt{n}) \cdot n^{4/3}}{n^{2}+n+1}$
Si hacemos distributivas ahí en el numerador, usando reglas de potencias, nos termina quedado:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}+n^{11/6}}{n^{2}+n+1} = 1$
Como el resultado del límite nos dio un número $>0$, el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.
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