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@Leon Hola León! Estos items formaban parte del Ejercicio 5 (que salen todos con el criterio integral de Cauchy), ahí estoy viendo que en el nuevo pdf que subieron a mate.cbc.uba.ar con las guías después del primer parcial, estos los cambiaron para el Ejercicio 4.
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
j) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}$
j) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}$
Respuesta
Para decidir si la serie
Reportar problema
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}\)
converge o diverge, observamos la expresión de nuestra serie y sospechamos que, cuando \(n\) sea muy grande, se va a comportar de manera similar a \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2/3}}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4/3}} \)
Esta serie sabemos que converge, por ser una serie $p$ con $p > 1$. Vamos a confirmar esta sospecha usando el criterio de comparación vía límite:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}}{\frac{1}{n^{4/3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^{2/3}+\sqrt{n}) \cdot n^{4/3}}{n^{2}+n+1}$
Si hacemos distributivas ahí en el numerador, usando reglas de potencias, nos termina quedado:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}+n^{11/6}}{n^{2}+n+1} = 1$
Como el resultado del límite nos dio un número $>0$, el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.
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Leon
22 de junio 15:13
Hola buenas, en la guia están estos dos ejercicios que no
aparecen resueltos acá, podrias darme alguna idea de como encararlos?
Muchas gracias de antemano
Flor
PROFE
23 de junio 11:39
Acá en las guías en texto no resolví ninguno del Ejercicio 5 (o sea, los que salen con el criterio integral de Cauchy) porque: Sólo te sirve para este tipo de series muy puntuales, jamás aparecieron en un parcial de cátedra única, y no es tan fácil de explicarlo en texto (porque el criterio integral de Cauchy, que NO es el mismo que el Cauchy de siempre, involucra integrales impropias que ya no se ven en Análisis del CBC). Por eso si lo quiero explicar y que me entiendan, le tendría que dedicar un video, pero con todos los ejercicios importantes que hay para hacer del segundo parcial, por ahora no me pareció que lo ameritaba...
Si te suena haber visto en la clase presencial el criterio integral de Cauchy, salen por ahí, pero para mi ni te estreses con esto y seguí avanzando hacia series de potencias que es el tema de series :)
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